0 Paradoxo de Ross-Littlewood Postado por Ares | às 05:59

O problema do pote e das bolinhas, conhecido no meio técnico como o Paradoxo de Ross-Littlewood, é um exercício mental (e é algo impossível de se fazer na prática) que serve para exemplificar a natureza contraintuitiva do infinito.

A ideia é a seguinte: suponha que você tenha um pote infinitamente grande (não, não é o mesmo que você usa para guardar biscoitos) e uma pilha infinita de bolinhas. O exemplo clássico é que elas sejam de pingue-pongue, o que justifica o outro nome que o problema pode levar – ping pong ball problem. Para todos os efeitos, não importa a bolinha. O que você vai fazer com elas é o seguinte:

Numere bolinhas de 1 a 10 e coloque todas no pote. Retire a de número 1. Depois, numere bolinhas de 11 a 20, adicione-as ao pote e retire a de número 2. Seguindo o mesmo padrão, numere bolinhas de 21 a 30 e retire a de número 3. Continue o processo indefinidamente, sempre observando a mesma lógica e sem nunca parar. Não reclame: você tem infinitas bolinhas!



Isso pode levar algum tempo. Mas, para nosso problema resultar num paradoxo, você também deve estar de olho no relógio. O processo todo deve ser iniciado precisamente às 11 horas, 59 minutos e 30 segundos de um dia qualquer. Escolha um dia em que você não esteja com muita pressa para o almoço. O primeiro passo deve ser feito em 15 segundos. O segundo, em 7 segundos e meio. O terceiro, na metade disso e assim por diante, de forma que, ao meio-dia, você tenha executado um número infinito de passos.

Parece confuso? Você ainda não viu nada. Se não entendeu o espírito, peço que siga de novo o raciocínio dos passos, dessa vez com a nossa restrição cronológica:

Comece às 11 horas, 59 minutos e 30 segundos. Numere bolinhas de 1 a 10 e adicione-as ao pote. Retire a de número 1. Esse processo deve demorar 15 segundos. Agora, numere bolinhas de 11 a 20, adicione-as ao pote e retire a de número 2. Esse passo deve demorar a metade do tempo do primeiro, ou seja, 7 segundos e meio. Para continuar, numere bolinhas de 21 a 30 e retire a de número 3, cuidando para que o tempo desse passo seja metade do segundo. Continue repetindo a operação infinitamente, sempre adicionando dez bolinhas, retirando a de menor número e fazendo este processo na metade do tempo que você levou para fazer o anterior.
A grande questão paradoxal é: QUANTAS BOLINHAS HAVERÁ NO POTE AO MEIO-DIA?
Pare, pense e tente conviver (um pouco) com essa dúvida antes de ler a resposta.

As soluções

A maioria das pessoas pensa de imediato em uma das duas alternativas: 1) o pote está infinitamente cheio, pois se adiciona mais bolas do que se retira; ou 2) o meio-dia nunca chegará. As duas respostas podem ser válidas, mas no caso desse paradoxo, ainda há mais alternativas a serem consideradas!

Por increça que parível o pote, ao final de todo esse tira-põe e deixa-ficar de bolinhas, pode estar infinitamente cheio ou infinitamente vazio!

Como isto é possível? Matemágica?

Não. Pura e simples lógica. Esse é o problema de se brincar com quantidades infinitas. Acompanhem:

1) O pote está infinitamente cheio

O campeão de chutes é justamente esse. Eu diria que, pessoalmente, logo de cara, é o pensamento mais sedutor. Afinal, tira-se uma bolinha e adiciona-se outras dez, de forma que o saldo final sempre fica positivo em mais nove bolinhas. Assim, a cada passo N, teríamos 9N bolinhas dentro do pote, o que é perfeitamente lógico.

2) O pote está vazio

A primeira vista, esta solução é de torcer os neurônios, mas, após uma pequenina análise, é tão lógico quanto assumir que o pote está infinitamente cheio.
Pense, por exemplo, na bolinha de número 4001. Ela foi adicionada no passo de número 400, da mesma forma que a número 21 foi adicionada no passo 2 e a 51 no passo 5. Contudo, no passo de número 4001, a bola 4001 foi retirada! E, tendo em vista que temos infinitos passos antes do meio-dia, sempre que pensarmos em QUALQUER bola numerada podemos ditar o passo no qual ela foi retirada.
Sendo assim, o pote está vazio ao meio-dia.

Surpreso? Esse é o problema de exercícios mentais com a escorregadia palavra de quatro sílabas: infinito. Há ainda pessoas que apontam problemas estruturais no enunciado do paradoxo; há quem faça menção ao Paradoxo de Zenão (o caso do meio-dia que nunca chega); preferi deixar de lado essas opções e, para quem queira pesquisar.